Polytope im IR ⁴ (= Polychora)

Als erstes werden die Terminologien, die in dieser Arbeit verwendet werden, durch einige Definitionen erklärt. Dabei werden aber grundsätzliche Begriffe wie Ecken/Punkte, Linien, Geraden und Flächen als bekannt vorausgesetzt.

Wenn wir von Polygonen sprechen, insbesondere von bestimmten n-gonen oder n-Ecken, so sind immer konvexe, regelmäßige und planare Flächen, begrenzt durch eine endliche Anzahl von Kanten (gerade Strecken), gemeint. Des Weiteren sollen die hier genannten Polyeder immer endlich, konvex, in einer 3-dimensionalen Hyperebene liegend und begrenzt durch regelmäßige Polygone sein. In beliebig hohen Dimensionen sprechen wir allgemein von Polytopen, die wieder konvex, endlich und von Polytopen einer Dimension niedriger begrenzt sind. Speziell im 4-Dimensionalen heißen diese Polytope Polychora (singular Polychor, das). Polyeder erhalten als Teile von Polychora den Namen Zelle.

Kommen wir zur genauen Definition von Regelmäßigkeit oder Regularität: Ein Polygon heißt regelmäßig, wenn alle seine Kanten gleich lang und alle seine Winkel gleich groß sind (außerdem soll ein Polygon in einer Ebene liegen und konvex sein). Ein Polytop in n Dimensionen heißt regelmäßig, wenn es aus regelmäßigen und gleichen Polytopen der Dimension n–1 aufgebaut ist und über Eckentransitivität verfügt (d.h. es existiert für jedes Paar von Ecken eine Bewegung, die die eine Ecke in die andere überführt und dabei das Polytop auf sich abbildet. Zu den Bewegungen sollen im folgendem - wie im klassischem Sinne - auch die Spiegelungen gelten.).

In drei Dimensionen sind dies genau die Platonischen Polyeder. Deshalb werden regelmäßige Polytope in höheren Dimensionen oft als Platonische Polytope bezeichnet.

Zu dieser Definition gibt es etliche äquivalente Eigenschaften; eine davon soll hier angeführt werden: Regelmäßige Polytope haben eine Sphäre, auf der alle Ecken liegen (Umsphäre), eine Sphäre, auf der alle Kantenmittelpunkte liegen, eine, auf der alle Flächenmittelpunkte liegen, eine, auf der alle Zellmittelpunkte liegen, usw. Dabei haben alle Sphären den gleichen Mittelpunkt, den Mittelpunkt des Polytops.

Bei der Definition von Halbregelmäßigkeit gab es lange Zeit Uneinigkeit. Selbst im 3-Dimensionalen gibt es mehrere Möglichkeiten einer Definition. So könnte z.B. die Transitivität der Ecken, die Regelmäßigkeit der Flächen oder die Gleichheit der Flächen aufgegeben werden. Aus diesem Grunde definieren wir einen neuen Begriff: Uniformität.

Ein Polygon ist uniform, wenn es regelmäßig ist. Ein Polytop in n Dimensionen, n ≥ 3, ist uniform, wenn es nur aus (nicht notwendig gleichen) uniformen Polytopen der Dimension n–1 aufgebaut ist und über Eckentransitivität verfügt.

In diesem Sinne sind die Archimedischen Polyeder uniform. Allerdings gibt es daneben noch mehr uniforme Polyeder: die Platonischen Polyeder, die Prismen (bestehend aus zwei parallelen n-Ecken, verbunden mit 4-Ecken) und die Antiprismen (zwei parallelen n-Ecken, die verdreht zueinander und somit durch 3-Ecke verbunden sind). Auch ist in der Definition die Konvexität nicht notwendig gefordert, wird aber im Folgenden als weitere Bedingung festgelegt - wie es klassisch auch der Fall ist.

Es stellt sich heraus, dass die uniformen Polychora aus den Platonischen Polychora, den prismatischen Polychora (von denen es unendlich viele gibt), den biprismatischen Polychora (von denen es ebenfalls unendlich viele gibt) sowie aus 41 weiteren Polychora bestehen. Da im 3-Dimensionalen die Platonischen Polyeder und die Prismen und Antiprismen ebenfalls von den uniformen Polyedern abgezogen werden, um die Archimedischen Polyeder zu erhalten, ist es naheliegend, diese 41 als Archimedische Polychora zu bezeichnen, auch wenn sich dies in der Literatur noch nicht durchgesetzt hat. 

Durch die Eckentransitivität besitzen auch uniforme Polytope spezielle Sphären mit gleichem Mittelpunkt: So gibt es zu jedem uniformen Polychor eine Sphäre, auf der alle Ecken liegen, eine, auf der alle Kantenmittelpunkte liegen, eine für jede Art von Fläche (3-Eck, 4-Eck usw.), die vorkommt, je eine Sphäre, auf der die Mittelpunkte der Flächen des jeweiligen Types liegen, und je eine Sphäre für die verschiedenen Zellen, so dass jeweils die Mittelpunkte gleicher Zellen auf einer Sphäre liegen.

Zwei weitere Begriffe, die noch einer Erklärung bedürfen, sind Eckenumgebung und Kantenkombination oder -umgebung. Bei der Eckenumgebung handelt es sich um die Umgebung einer Ecke eines Polytopes. Sie beschreibt bei den Polyedern, welche Flächen in welcher Reihenfolge um diese Ecke herum liegen und wird dann meist nur als Flächentypenzyklus aufgeschrieben. Da die benutzten Polyeder alle uniform sind und also über Eckentransitivität verfügen, ist die Beschreibung einer Ecke durch deren Umgebung eindeutig und wird deshalb als Synonym für die entsprechende Zelle benutzt: So ist (4,4,4) z.B. der Hexaeder, (5,6,6) der stumpfe Iksaeder (oder Fußball) und (3,3,3,7) das 7-Antiprisma. Bei den Polychora ist eine Eckenumgebung die Anordnung der Zellen in der Umgebung dieser Ecke. Da diese Umgebung räumlich ist, gibt es dazu leider keine einfache Darstellung (lediglich die Darstellung der Eckenumgebung als Eck-Figur, einem unregelmäßigen Polyeder, der entsteht, wenn die Ecke abgeschnitten wird, ist möglich).

Eine Kantenkombination eines Polychors ist dagegen wieder einfach darstellbar. Es ist der Zyklus von Zellen um eine bestimmte Kante herum und wird deshalb auch analog zu einer Eckenumgebung eines Polyeder geschrieben: (4,4,4)(4,4,4)(4,4,4) wäre so die Kantenkombination des 8-Zellers, des 4-dimensionalen Würfels. Um diese (hier sogar um jede) Kante liegen drei Hexaeder. Da aber die uniformen Polychora nicht über Kantentransitivität verfügen, kommen bei den meisten verschiedene Kantenumgebungen vor.

Manchmal werden mehrere Kantenkombinationen zu Eckenumgebungen zusammengefügt. Dieses erfolgt nur lokal (da ja alle Eckenumgebungen aufgrund der Eckentransitivität gleich sind). Somit erfolgt eine lokale Vorstellung vollständig im 3-dimensionalen Anschauungsraum, ohne dass die vierte Dimension explizit vorgestellt werden muss. Das Zusammenfügen der Zellen an Flächen, Kanten und Ecken ist also lediglich eine Art Puzzle aus Zellen.

Schließlich definieren wir die verschiedenen relevanten Winkel. Der Winkel zwischen zwei benachbarten Kanten auf einer Fläche entspricht dem Winkel im üblichen Sinne und heißt hier Flächenwinkel. Des Weiteren ist der Winkel zwischen zwei Flächen, die eine gemeinsame Kante haben, der Winkel (im üblichen Sinne) am Kantenmittelpunkt und zwischen den Halbgeraden vom Kantenmittelpunkt zu den Flächenmittelpunkten. Dieser Winkel heißt Keilwinkel. Zu guter Letzt benötigen wir noch den Winkel zwischen zwei Zellen, die sich an einer Fläche berühren. Analog ist dies der Winkel (im üblichen Sinne) am Flächenmittelpunkt und zwischen den Halbgeraden vom Flächenmittelpunkt zu den Zellmittelpunkten. Diesen Winkel nennen wir Faltwinkel.

Die in diesen Ausführungen immer gesetzte Bedingung der Konvexität lässt sich natürlich auch aufheben. Damit entstehen jeweils größere Klassen von Polygonen, Polyedern und Polytopen. So sind z.B. auch Pentagone, Heptagone und so weiter möglich; ein Zusammensetzen dieser führt z.B. zu (auch nicht-konvexen) Sternenpolyedern (auch Kepler-Poinsot-Körper genannt). Entsprechend findet man für den 4-dimensionalen Raum die nicht-konvexen regelmäßigen Schläfli-Hess-Polychora. Der halbregelmäßige (genauer uniforme) nicht-konvexe Fall im 4-Dimensionalen ist allerdings noch völlig offen; so werden fast monatlich weitere gefunden (siehe z.B. die Seiten von George Olshevsky http://members.aol.com/Polycell/). Auf diesen Seiten soll es erst einmal nur um die konvexen Polytope gehen.